Complexe encore plus complexe de module 1 - Corrigé

Énoncé

Pour tout  \(t\in\mathbb{R}\) , on pose  \(z=\dfrac{2-t^2}{2+t^2}+i\dfrac{\sqrt{8}t}{2+t^2}\) . Montrer que le module de z est égal à 1.

Solution
\(\lvert z \lvert^2 = \left(\dfrac{2-t^2}{2+t^2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{8}t}{2+t^2}\right)^2= \dfrac{4-4t^2+t^4}{4+4t^2+t^4}+\dfrac{8t^2}{1+4t^2+t^4}= \dfrac{4+4t^2+t^4}{4+4t^2+t^4}=1\)
donc  \(\lvert z \lvert =1\)  car  \(\lvert z \lvert \geqslant 0\) .